函數(shù)
“函數(shù)”是數(shù)學(xué)帶給這個世界最好的禮物之一。
數(shù)學(xué)家 Jordan Ellenberg （喬丹 艾倫伯格）曾經(jīng)畫過一張非常經(jīng)典的圖，他把數(shù)學(xué)分成四個區(qū)域
1號區(qū) 深奧、復(fù)雜
比如龐加萊猜想、費(fèi)馬最后定理，黎曼假設(shè)等。
2號區(qū) 深奧、簡單
比如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、拉弗曲線、大數(shù)定律等。
3號區(qū) 淺顯、簡單
比如加減乘除，開方乘方等。
4號區(qū) 淺顯、復(fù)雜
比如復(fù)雜定積分，這個區(qū)域充滿了唬人的公式。
（個人感覺這樣的區(qū)域分類沒有好大意義）
對我們大多數(shù)人而言，深奧、簡單的2號區(qū)里的數(shù)學(xué)是最有價值的，因為它們通常非常實用，而且簡單直觀。
而函數(shù)就是2號區(qū)域里面最重要的組成部分，這就是我們今天講函數(shù)的最重要的原因。
但在日常生活中，每當(dāng)我跟非理科生說起函數(shù)時，大家總是一臉茫然，就好像函數(shù)是特別高深的東西。
函數(shù)不難，它是初中數(shù)學(xué)就有的概念，你覺得它難，原因之一是教科書為了追求嚴(yán)謹(jǐn)，通常愛把簡單的東西說得極其抽象。
比如初中數(shù)學(xué)教科書對函數(shù)的定義：
在一個變化過程中，有兩個變量， X 與Y。如果對于 X 的每一個值， Y 都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說 X 是自變量， Y 是 X 的函數(shù)因變量。
你說這種定義，能記住才怪。
其實函數(shù)這個東西之所以直觀，就是因為它通常都能簡化成圖形，而圖就能夠直觀地告訴我們一個變量和另外一個變量的關(guān)系(大腦對圖形的理解遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于數(shù)字，這點(diǎn)查理也說過這樣的論斷)。
函數(shù)就是把一個變量跟另一個變量一一對應(yīng)起來的圖
時間函數(shù)
在我們自己的生活中，我發(fā)現(xiàn)最有用的一類函數(shù)，實際上是時間函數(shù)：
橫軸（自變量）：時間
縱軸（因變量）：收益、營業(yè)額、價值、能力、價格、情緒、精力等
這些變量的變化和時間之間的對應(yīng)關(guān)系，就是時間函數(shù)。
時間函數(shù)之所以強(qiáng)大，是因為它可以給我們提供一個穿透時間、預(yù)測未來的上帝視角。
我們普通人，在生活中遇到最大的挑戰(zhàn)就是短視，最近一段時間的境遇會極大影響我們對未來的判斷。
比如，有一個人最近過得很糟糕，那么他就會傾向于認(rèn)為未來同樣很糟糕，但實際上，未來有可能會突然變好，也有可能是每況愈下。
如果沒有時間函數(shù)作為依據(jù)，其實就沒有任何評估的基礎(chǔ)。此時如果你把歷史時間函數(shù)拉出來，有可能會茅塞頓開。
★1.高特納曲線
高特納曲線（Hypecycle模型），可以用在生活中的很多方面。
hype cycle，該模型由著名咨詢公司Gartner發(fā)布，包含Gartner對眾多行業(yè)發(fā)展周期的預(yù)測與判斷。
這條曲線非常經(jīng)典，它的函數(shù)形態(tài)是這樣：
【新技術(shù)出現(xiàn)】→【過度樂觀】→【過度悲觀】→【走向成熟】
在一個新的技術(shù)出現(xiàn)之后，整個世界通常會過度樂觀、過度興奮，覺得這個世界馬上會因此而改變。
但接下來當(dāng)技術(shù)開始落地時，大家又會重新陷入到過度悲觀，因為它沒有發(fā)展這么快，世界并沒有因此煥然一新，
所以后來大家覺得這個技術(shù)也沒什么了不起，就逐漸把它淡忘了。
但在這之后，這個新技術(shù)又會慢慢地重新成長起來，在遠(yuǎn)離大眾視野的地方，逐漸走向成熟。
鄧寧-克魯格效應(yīng)
這條曲線的形態(tài)，也符合我們生活中很多事情的變化規(guī)律。
我們在年輕時，通常覺得自己無所不知，自信程度非常高；
然后隨著我們逐漸長大，從中學(xué)到大學(xué)，從大學(xué)到社會，就是不斷經(jīng)歷被社會毒打的過程。
比如中學(xué)成績很不錯，結(jié)果考上大學(xué)后跟同學(xué)一對比，跟周圍的環(huán)境一對比，你就發(fā)現(xiàn)自己沒有那么厲害，
此時自信心會跌入谷底，然后再重新慢慢攀爬起來。
當(dāng)你從大學(xué)畢業(yè)又進(jìn)入社會，又一次會被社會毒打，
自信心又一次跌到谷底。
當(dāng)你從一個行業(yè)進(jìn)入到另外一個行業(yè)時，通常也會發(fā)生這樣的現(xiàn)象，
總是先跌落谷底，再慢慢往上攀爬，有可能再次跌入谷底，然后再往上翻盤。
我們?nèi)松龅胶芏嗑秤觯挤线@個規(guī)律——
不要高估短期能發(fā)生的變化，
不要低估長期能發(fā)生的變化。
我們通常不要高估兩年內(nèi)能發(fā)生的變化，但是也不要低估長達(dá)十年能發(fā)生的大變化；
不要高估堅持兩個月能做的事情，但也不要低估堅持十個月能達(dá)到的成果。
產(chǎn)生原因
如果我們再深入一層來研究一下，為什么會有這條曲線，它是什么產(chǎn)生的？
實際上這條曲線是由兩條完全不同的曲線構(gòu)成的——人性曲線&物性曲線。
人性曲線
人性曲線是怎么來的呢？
從生物學(xué)的角度，這是細(xì)胞膜電位和時間的函數(shù)圖（也是一個時間函數(shù)），它是神經(jīng)科學(xué)里非常有名的一條曲線（如下圖）。
當(dāng)我們受到刺激，如果刺激超過了某個閾值，整個神經(jīng)電位就會飛升，一下子跳到很高的 C 點(diǎn)（如下圖）；
然后又從 C 點(diǎn)再次重重跌回來（如下圖）。
這個下跌的過程，往往會過度的下跌，然后又會重新恢復(fù)到平靜，此時會達(dá)到一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)——靜息電位（見上圖后時間軸后截）。
這是我們收到各種刺激時，細(xì)胞電位反應(yīng)情況，它實際上就是人類遇到各種刺激情況下的縮影。
我們的很多反應(yīng)都逃脫不了這樣的反應(yīng)曲線，所以我們把它叫做人性曲線。
高特納曲線的另外一個部分——物性曲線，此處就要提到另一個非常重要的事物發(fā)展函數(shù)——邏輯斯蒂函數(shù)。
★2.邏輯斯蒂函數(shù)
邏輯斯蒂函數(shù)（Logistic Equation）是數(shù)學(xué)家 Pierre-Francois Verhulst 提出的一個非常著名的人口增長模型。
這個函數(shù)被發(fā)現(xiàn)可以廣泛應(yīng)用在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等很多的領(lǐng)域，可以描述很多事情經(jīng)歷高速增長之后，逐漸邁向穩(wěn)定的過程（如下圖）。
公式的分母 L 代表整個邏輯斯蒂函數(shù)的增長邊界。
這個函數(shù)是一個數(shù)量-時間函數(shù)，描述隨著時間增長，數(shù)量是如何變化。
可以看出來，隨著時間增長，數(shù)量一開始慢慢長大；
但到了后來，突然間變得非常陡峭，因為跨過了一個拐點(diǎn)；
然后這個陡峭的向上曲線又遇到一個玻璃頂，然后逐漸收緩。
邏輯斯蒂曲線是一個指數(shù)級增長的力量和一個環(huán)境阻力共同構(gòu)成的一條曲線。
指數(shù)級增長的力量：在一個資源豐裕的環(huán)境下，如果沒有任何限制，那么不管是人口還是羊群，都會形成一個指數(shù)級增長的形態(tài)。
當(dāng)指數(shù)增長到一定程度之后，就會遇到一個環(huán)境阻力線（如下圖虛線）。
然后這條阻力線會把邏輯斯蒂增長擋在一個增長極限里面，這就叫玻璃頂，所以它會讓藍(lán)色增長曲線變成紅色增長曲線（邏輯斯蒂增長曲線）
這非常符合我們?nèi)粘Ｉ钪杏龅降恼鎸嵡闆r，人類社會的發(fā)展也是如此（如下如）：
公元前 1 萬年時，人口非常少；
直到公元元年，這條曲線仍然是非常平緩在進(jìn)展；
元年時，全球人口才只有 2.5 億；
之后就開始慢慢遇到拐點(diǎn)，短短幾百年的時間里面，就從 2.5 億→ 25 億→ 67 億，這個曲線變得非常陡峭。
但到了現(xiàn)在，我們看到很多國家，這條曲線已經(jīng)出現(xiàn)了拐點(diǎn)，比如日本、德國、意大利。
很多國家的增長曲線，我們都能感受到這個邏輯斯蒂模型，它跟現(xiàn)實非常吻合。(25號宇宙?)
★3.倒 U 形曲線
拉弗曲線（稅率-稅收）
它是經(jīng)濟(jì)學(xué)里面有名的拉弗曲線，聽起來好像很學(xué)術(shù)，實際上原理極其簡單，
它是用來描述政府能夠收上來的稅收和稅率之間的關(guān)系。
橫軸：稅率，稅率是從 0 到1。
0：完全不收稅；
1：把所有人賺的錢都收上來。
縱軸：政府能總共收上來的稅收。
這條曲線的含義：在 0 和 1 之間，找到一個適當(dāng)?shù)闹担ǘ惵剩?，使得稅收最高?br />
如果稅率為0，那么收不上來任何稅；
如果稅率為1，那么沒人愿意打工，同樣收不上來任何稅。
所以，稅收和稅率的對應(yīng)關(guān)系，就是倒 U 形的曲線。
進(jìn)食-愉悅度
倒 U 形函數(shù)可以用在生活中很多地方，比如我們吃東西和愉悅程度之間的函數(shù)（如上圖）。
如果你非常饑餓，那此時不愉悅；
隨著你進(jìn)食到了一定程度，愉悅度就會達(dá)到峰值。（饑餓是最好的開胃菜）
如果你繼續(xù)吃，反而覺得很難受；
吃到最后，你可能把自己給撐死，愉悅度又回到0。
鍛煉-健康度
鍛煉和健康也是這個對應(yīng)關(guān)系。
鍛煉在橫軸，健康在縱軸，每一個鍛煉程度，跟健康度一一對應(yīng)。
這就是函數(shù)，簡單好用，堪稱是現(xiàn)代人居家旅行的必備工具。
各國GDP發(fā)展圖
現(xiàn)在我們都知道，中國和美國關(guān)系很緊張，遇到了很多阻礙，GDP時間函數(shù)會告訴你，未來中美的國力對比會走向何方。
未來中國和美國的國力對比會走向何方呢？
如果我們了解倒 U 型曲線，就可以很好地解釋這個現(xiàn)象。
我們只需要分析過去 500 年各個大國生產(chǎn)力發(fā)展的函數(shù)，那么你就會發(fā)現(xiàn)，各種國力發(fā)展和時間的關(guān)系都是符合倒 U 形函數(shù)曲線的（如下圖）。
這里面一開始是中國，它是先上后下（如下圖紅色線），
然后荷蘭崛起，也是先上后下。
英國超越荷蘭，一路往下。
荷蘭走完他的倒 U 型曲線路線之后，接下來英國崛起，然后美國崛起，美國起來時，英國又下去了。
再然后就是中國曲線到了谷底之后，開始慢慢沿著趨勢往上走。
我們看到，中國在倒 U 型曲線的上升期，而美國在倒 U 型曲線的下降期。
所以你看兩國未來的走向，就有了推測的依據(jù)，只要畫出時間函數(shù)，實際上就給了我們判斷事物未來走向的其中一個角度。
這個推測 100% 就準(zhǔn)嗎？
當(dāng)然不是，任何一個結(jié)論都必須有多學(xué)科的視角交叉驗證，但是函數(shù)視角肯定是其中一個非常重要的視角。（這是留后門嘛，說了半天的漂亮廢話）
比如國家發(fā)展的倒 U 型曲線，就非常適合用來描述很多事物的發(fā)展規(guī)律。（不符合曲線的有多少？是個例還是普遍有重要參考意義，怎么感覺有點(diǎn)兒越來越水，沒有前兩期好了）
行業(yè)生命周期圖
我們之前無數(shù)次講過這樣圖，每一個行業(yè)都會走出剛才講過的國家內(nèi)容類型倒 U 型圖，他們會經(jīng)歷曙光期、朝陽期、成熟期、衰退期。
生命機(jī)能發(fā)展圖
人體機(jī)能發(fā)展，也符合倒 U 型發(fā)展態(tài)勢（如下圖）。
生命機(jī)體在年輕時，肺活量、腎血漿流量、腎小球功能都是往上走的；
從 5 – 15 歲，一路往上飆升，到了 20-30 歲時，就達(dá)到了人生的高峰了；
然后 35 – 40 歲時，就出現(xiàn)拐點(diǎn)，接著身體機(jī)能就一路往下。
這仿佛是很多事情從出生到衰亡的普遍規(guī)律，我們的智力發(fā)展也符合這個規(guī)律。
流體智力發(fā)展圖
之前我們也講過，人類的流體智力(Fluid Intelligence) 它跟我們的身體天賦高度相關(guān)，決定了靈活應(yīng)變、學(xué)習(xí)能力這些最關(guān)鍵的能力。
它的發(fā)展也符合從嬰兒到少年、青年、中年、老年這樣的倒 U 型曲線的發(fā)展態(tài)勢。
人生犯錯成本圖
年輕時犯錯成本比較低；
到了中年犯錯成本就變得非常高；
但是到了老年犯錯成本又變低了，因為牽掛變少了，孩子長大了。（家族不合，孩子長大了是主因，說函數(shù)就有些牽強(qiáng)了）
所以我們看到很多 50 多歲的阿姨反而很想得開，開始尋找自我了，就是這個道理。
所以事物發(fā)展的倒 U 型曲線，是一個非常重要的東西，它也是普適性很強(qiáng)的函數(shù)。
★4.正余弦函數(shù)
普適性比倒 U 型曲線還要強(qiáng)的函數(shù)就是正（余）弦函數(shù)，它對應(yīng)的一種函數(shù)形態(tài)就是波動（如下圖）。
波動就是時間的伴侶，有很多變量的時間函數(shù)都是符合波動規(guī)律的。
比如我們的人生境遇、情緒、心跳。
人生通常在經(jīng)歷波峰之后就會回到波谷，波谷之后就會回到波峰；
情緒通常在興奮之后，又會變得壓抑；
股價通常在大漲之后就會向下回調(diào)。
這些都是我們無法逃避的，所以波動函數(shù)無所不在。
波動函數(shù)的啟發(fā)
最近你過得不順利，時間函數(shù)會告訴你，現(xiàn)在是黎明前的黑暗，還是凜冬將至。
回到開頭的那個問題，假如說最近你過得很不順利，那么接下來會怎么樣呢？
通過時間函數(shù)的套用，你就可以推測出來，這種不順利，它到底是黎明前的黑暗，還是黑夜前的黃昏。
你過得不太順利，在時間函數(shù)中的表現(xiàn)是這樣的，隨著時間的推移，你的收益在一路往下走。
黎明前的黑暗
當(dāng)你用它套在時間波動圖里，你就會看到，也許它只是整體上升趨勢里面的一個波谷而已，這個就叫做黎明前的黑暗（如下圖）。
黑夜前的黃昏
它也可能是反過來的，是整體下降大趨勢的一個前奏，這就是黑夜前的黃昏（如下圖）。
波動模型很簡單的，但這里面似乎波動背后的大趨勢才是關(guān)鍵，而讀懂這個大趨勢，函數(shù)解答不了。（又一個坑）
此處我們有可能要跳出函數(shù)之外去看問題，這也是我們?yōu)槭裁葱枰獙W(xué)習(xí)多元思維的原因。
因為要解答很多的問題，需要兩個或兩個以上的更多模型相互印證。
趨勢的判斷
如何才能判斷大趨勢？
通常要借助產(chǎn)業(yè)研究、系統(tǒng)論、管理學(xué)、金融學(xué)、政治學(xué)、歷史學(xué)等其他知識。
比如如果你了解系統(tǒng)論，那你就可以通過分析一家公司的商業(yè)模型，了解這家公司的競爭力。
我自己在 2018 年的時候，就曾經(jīng)通過系統(tǒng)論的分析，找到了一個黎明前的黑暗。
例一 投資奈飛盈利
美股有一家公司叫做奈飛（Netflix），它出品過《紙牌屋》等知名電視劇。
Netflix(Nasdaq NFLX) 美國奈飛公司，簡稱網(wǎng)飛。是一家會員訂閱制的流媒體播放平臺
《紙牌屋》（House of Cards）由奈飛公司（Netflix）出品的政治題材電視劇，六季共73集
18 年 9 月份，這家公司的股價有過一次非常重大的下跌，
因為當(dāng)時美國有好幾個大的競爭對手都宣布要大力地進(jìn)軍流媒體行業(yè)，所以市場覺得奈飛的好日子到頭了。
但是當(dāng)時我判斷這家公司的競爭力非常強(qiáng)，競爭對手并不能夠輕易地復(fù)制它的成功。
為什么我覺得它有很好的商業(yè)模式呢？
使用系統(tǒng)論的分析方法，詳細(xì)講解在學(xué)科02：系統(tǒng)論重要模型，這里直接說結(jié)論：
我當(dāng)時發(fā)現(xiàn)，奈飛處于一個非常經(jīng)典的系統(tǒng)論良性循環(huán)里面，馬太效應(yīng)非常明顯。
簡單來說就是奈飛通過砸大錢，自己制作電影、電視劇的方式，提供了獨(dú)特的競爭力，獨(dú)家自研內(nèi)容越多，會員增長就越快；
而會員增長越好，口碑傳播就越好。會員增長本身又可以給奈飛帶來最直接的會員收入。
因為奈飛的收入模式是必須付費(fèi)才能看（跟國內(nèi)的各大視頻網(wǎng)站完全不一樣），所以只要他的會員一增加，它的收入就會不斷的增長；
而收入不斷增長之后，自研內(nèi)容的投入也會不斷增加，所以他的自研內(nèi)容就會越做越強(qiáng)，進(jìn)一步吸引更多的用戶成為它的會員。
然后他的自研內(nèi)容又形成了自己的小閉環(huán)。
作為市場上投資新劇最大的金主，所有的導(dǎo)演和演員都會優(yōu)先考慮和奈飛合作，而這又使他更容易拍出好劇。
這三個循環(huán)相互咬合，讓這家公司不斷地處于一個自增強(qiáng)的良性循環(huán)里面，所以我覺得這家公司的未來一定可以在競爭中獲勝。
所以當(dāng)時在奈飛股價下跌了 30% 的時候，我做了一些投資，事后證明這筆投資在兩年時間里面，給我?guī)砹顺^ 100% 的回報。
例二 錯過教育行業(yè)
我在 2013 年研究過，要不要進(jìn)入在線教育這個行業(yè)，因為我的全家人幾乎都是老師，我的父親、母親、伯父都是當(dāng)老師，所以我對教育行業(yè)還是很有好感的。
當(dāng)時剛好我的上一家公司賣掉，手頭有一點(diǎn)點(diǎn)資金，所以我就非常深入地研究了要不要進(jìn)入在線教育這個行業(yè)，但在嘗試了半年之后，我就放棄了。
因為 13 年這個行業(yè)太難了，根本沒有成立的商業(yè)模式，即我剛好經(jīng)歷了這個行業(yè)的一個低谷，后來我就放棄了。
而就在我放棄之后的幾個月，整個行業(yè)里面，有很多公司開始紛紛宣布獲得融資， 投資機(jī)構(gòu)紛紛進(jìn)場。
之后的三年，被稱為中國在線教育的元年，很多創(chuàng)業(yè)公司在那段時間都發(fā)展得非常好。
這就是典型的在朝陽期開啟之前，剛好我進(jìn)去時經(jīng)歷了低谷，然后我就放棄了。
當(dāng)時我的最大問題就是，我只盯著自己的一畝三分地，而沒有去跳到更高維度，看整個行業(yè)發(fā)展的大趨勢，即我沒有畫出來這個行業(yè)發(fā)展的函數(shù)曲線圖。
如果我可以適當(dāng)做一些行業(yè)的發(fā)展歷史的分析，也許就能夠發(fā)現(xiàn)，整個行業(yè)的發(fā)展大趨勢其實非常明顯，只是我自己剛好遇到了一個小低谷而已。
所以如果我們自己正處于一個朝陽的賽道，那么一定要記住，不要因為眼前遇到一點(diǎn)小挫折，就放棄這個賽道的大機(jī)遇——一葉障目，不見泰山。
例三 APP創(chuàng)業(yè)失敗
在 2015 年，我當(dāng)時拿到一筆千萬級融資，創(chuàng)業(yè)做了一個在線交易的APP。
當(dāng)時的大環(huán)境是什么樣子呢？
做手機(jī) APP 這件事情已經(jīng)越來越不吃香了。
業(yè)內(nèi)的話，叫做移動互聯(lián)網(wǎng)的流量紅利已經(jīng)逐漸消失，就是獲取每一個互聯(lián)網(wǎng)用戶的成本越來越高了。
但是當(dāng)時剛好是一個投資的小陽春、小高潮。
很多投資人開始拿錢涌進(jìn)來，想要去投新的移動互聯(lián)網(wǎng)項目，此時陰差陽錯我拿到了錢，可以說剛好碰上了一個回光返照。
所以在 2015-2018 年的三年內(nèi)，盡管我拿到了錢，微觀層面上趨勢不錯，但是整個行業(yè)大的趨勢，卻是一路往下走，
所以我越做越困難，最后燒光了 2 千萬，什么也沒做成。
這是另外一個典型的例子。就在一個行業(yè)整體衰退的大形勢下，你剛好遇到了一些好機(jī)會，然后你就沖進(jìn)去了，
于是你把自己給鎖死在這件事情上面，不得不陪著整條賽道不斷地往下墜落。
所以這給我們另外一個啟發(fā)，就是
不要因為短期看起來光鮮亮麗，就忽略了整體下降的大趨勢。
不要因為短期看起來光鮮亮麗的微觀形式，就忽略了你現(xiàn)在所處的宏觀大環(huán)境，或者大行業(yè)整體下降的大趨勢。
這方面，正面的例子 UP主 小艾大叔，
他很明智地從一個整體下降的大行業(yè)——房地產(chǎn)業(yè)，跳到了一個整體上升的行業(yè)——內(nèi)容行業(yè)。
盡管他之前在房地產(chǎn)行業(yè)做得已經(jīng)很成功了，但他還是義無反顧地遷移到了新興行業(yè)從零開始，我覺得（？）這個就是明智的選擇。
回到函數(shù)的知識里面，波動函數(shù)真的是無處不在。
瑞達(dá)利歐大小周期曲線
所以，瑞·達(dá)利歐曾經(jīng)畫過一個產(chǎn)業(yè)發(fā)展的大小周期曲線圖。
瑞·達(dá)利歐（Ray Dalio），橋水基金的創(chuàng)始人。著《原則》
他認(rèn)為，這個世界的發(fā)展就是很簡單的由三條曲線構(gòu)成的，
第一條曲線是小周期，小周期會圍繞一個大周期去波動，而大周期又會圍繞一個更大的、不斷成長的生產(chǎn)力發(fā)展函數(shù)波動。
那么這三條曲線疊加在一起，就構(gòu)成了人類經(jīng)濟(jì)活動的整個時間函數(shù)。
所以我們很多時候人生經(jīng)歷的，只是這個大周期里的某個小周期里非常小的片段。（通俗來點(diǎn)講就是活在什么時代就是什么時代的人）
如果我們可以跳出來看到整個大環(huán)境，那么的確更不容易受到很短期趨勢的蒙蔽。
★5.指數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)是一個增長奇跡函數(shù)。
相關(guān)名詞：復(fù)利效應(yīng)、爆發(fā)式增長、裂變式營銷
相關(guān)場景：各種喪尸片中描述的場景（病毒的傳播、喪尸數(shù)量的增長）
優(yōu)勢
通常只要是跟指數(shù)函數(shù)相關(guān)的東西，產(chǎn)生的效果都是非常戲劇性的。
比如細(xì)胞的裂變、想法的傳播、病毒的傳染、傳銷組織的壯大，都是這樣一個裂變過程：
模式上都是一傳二、二傳四、四傳八、八傳十六，表面上看傳了 4 級，也就只是從 1 變成了 16 而已，這時候看起來并沒有多少，
但你想想如果能夠連續(xù)傳 40 級，這個數(shù)字就會變成 1 千億，這就是指數(shù)級裂變的強(qiáng)大威力。
一旦這個系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)起來，開始盡管非常緩慢，但是后來會突然爆發(fā)，讓所有人都驚掉下巴。
劣勢
同時從這個模型里，我們能看到指數(shù)級增長的脆弱性，如果早期其中的某個關(guān)鍵鏈路斷掉，則整個增長的模型就會崩塌。
舉個最極端的例子：
如果有人給你一個雞蛋，然后他說：
“這個雞蛋只要孵出小雞，然后小雞不斷地在蛋生雞，雞生蛋，未來你就可能成為億萬富翁。”
這時候你聽了會非常高興。
結(jié)果沒有半天這個雞蛋打碎了，瞬間損失了一個億。
這就是指數(shù)級增長的脆弱性。
應(yīng)用
技術(shù)進(jìn)步復(fù)利效應(yīng)
其實很多事情的發(fā)展都符合指數(shù)函數(shù)的特征。
拿技術(shù)進(jìn)步來舉例，比如突然出現(xiàn)一項新技術(shù)，開始時沒人看好，它只能在小圈子里面更新迭代不斷優(yōu)化。
但有一天當(dāng)它開始成熟出圈時，就會發(fā)現(xiàn)幾乎所有的領(lǐng)域都跟它產(chǎn)生關(guān)系，然后一傳十、十傳百飛速傳播。
例一 互聯(lián)網(wǎng)+
互聯(lián)網(wǎng)當(dāng)年的發(fā)展就是這樣，當(dāng)它破圈時，幾乎任何東西都可以與互聯(lián)網(wǎng)產(chǎn)生關(guān)系，轉(zhuǎn)換成為互聯(lián)網(wǎng)+ 。
例二 電力時代
一旦電相關(guān)技術(shù)發(fā)展成熟，跨過了拐點(diǎn)，人們一下子就發(fā)現(xiàn)幾乎萬事萬物都能用上電。
汽車、做飯、洗衣服、工廠等都會用上電，于是用電的規(guī)模就會爆發(fā)式的增長。
例三 通訊工具——微信的傳播
當(dāng)初每個知道微信的人，肯定會讓自己常聯(lián)系的人也用上微信，這樣子才能夠體現(xiàn)微信它作為通訊工具的本質(zhì)價值。
人傳人最可怕，所以當(dāng)年微信僅用了 10 個月的時間，就幾乎傳遍了大江南北。
傳聞、流言、八卦、潮流時尚同理，只要有人傳人的特性，很多都具有指數(shù)增長效應(yīng)。
迷惑性
指數(shù)函數(shù)最特別的地方是它在早期發(fā)展的時候極其具有迷惑性。
比如新冠疫情，早期發(fā)展時，全世界都覺得這個事情不是個事兒，因為一開始看它的發(fā)展極其緩慢，然后突然間就快得讓人難以置信。
究其原因是我們人類大腦無法從直覺上理解指數(shù)函數(shù)的。
因為在原始人類的生存環(huán)境里面，我們很難遇到指數(shù)級增長的東西，這就導(dǎo)致很多普通人的大腦根本沒有進(jìn)化出能夠理解指數(shù)函數(shù)的本能。
那么這也就導(dǎo)致我們非常容易忽略身邊的這一類事物的存在。
這一點(diǎn)跟我們前面講過的倒 U 形函數(shù)和波動函數(shù)不同，這兩個類函數(shù)都在人類直覺覆蓋的范圍區(qū)域內(nèi)，所以我們很容易就注意到它們的存在。
指數(shù)函數(shù)非常不同，即使是專家，有時也會無意間忽略它們。
當(dāng)時在 2020 年 3 月份新冠疫情全球確診病例是4 萬例，放在全球人口里它是非常小的數(shù)據(jù)。
如果看到這個數(shù)字增長的曲線，2 月 19 號到 3 月 1 號，整個幾乎是平的，你會覺得這個疫情沒有什么了不起（如下圖）。
當(dāng)時很多歐美國家在這個階段幾乎都是吃瓜心態(tài)，覺得新冠疫情就是中國人自己的問題。
很多歐美國家對于自己國家的新冠疫情的預(yù)測，像上圖那條虛線那樣。
因為僅憑直覺，他們覺得自己的國家里面這么少的案例，是不會發(fā)生任何影響的。（此處應(yīng)該從病毒傳播學(xué)來解釋會更客觀）
但實際的情況大家都知道了，是如上圖紅線那樣，跨過了一開始的拐點(diǎn)，它就開始飛速往上拐，而且中間并沒有發(fā)生任何特別的情況，
這個病毒當(dāng)時并沒有變異，也沒有增加它的傳播概率，它只是一直維持自己的傳播特性。
只不過這個傳播特性在數(shù)學(xué)上剛好吻合了指數(shù)增長的特點(diǎn)，所以會出現(xiàn)一個所謂的拐點(diǎn)。
所謂突然爆發(fā)，通常并不是突然爆發(fā)，而是它一直在爆發(fā)，只是一開始你沒注意到。（防微杜漸）
這就是指數(shù)函數(shù)的一個非常重要的特征。
所以知道和理解指數(shù)函數(shù)這種現(xiàn)象，對于我們來說非常重要。
假設(shè)你有機(jī)會進(jìn)入到一個指數(shù)級增長的行業(yè)，或者有機(jī)會在自己身上去引發(fā)某些指數(shù)級的變化，那么你就要打起十二分精神來，
因為你只要趕上一次指數(shù)級增長，你的人生就可能會徹底改變。
★6.對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)
反函數(shù)的意思就是這兩個函數(shù)，剛好形態(tài)上是完全反過來的。
指數(shù)、對數(shù)函數(shù)特點(diǎn)
指數(shù)函數(shù)特征：先慢后快，突然爆發(fā)。
那把它反過來是什么呢？
對數(shù)函數(shù)特質(zhì)：先快后慢，出道即巔峰.
一出來時它就非常厲害，但到了后面，就慢慢沒有任何變化。
玻璃頂效應(yīng)
那么為什么會出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)這樣的函數(shù)形態(tài)？
因為很多的事物它會遇到一個東西——玻璃頂效應(yīng)。
例一：時間約束——送外賣
比如你去送外賣，你一天都干活，不吃飯不睡覺，那你總共也就只有 24 小時的工作時間，不可能因為你非常努力，你每天就能擁有100 個小時，
那么 24 個小時就是你的玻璃頂，它不可能無限增長，不可能被突破，這就是時間約束。
例二：空間約束——共享單車
比如共享單車項目會受到空間約束，一個城市所有的公共地段、區(qū)域能夠擺放共享單車的數(shù)量是有限的，所以共享單車的數(shù)量是不可能無限增長的。
盡管一開始時，你可以不斷迅猛投放很多輛車，看似沒有天花板，但是鋪到一定程度，就一定會遇到一個玻璃頂，這就是空間約束。
例三：青春約束——嫩模職業(yè)
比如嫩模行業(yè)有青春約束，賣的就是自己的青春，就是我們常說的吃青春飯，即這個行業(yè)最值錢時，可能就是剛剛出道時，
而且隨著年齡增大，她的價值就會不斷下跌，這就是青春約束。
例四：內(nèi)在價值約束——靠廣告維持銷量的產(chǎn)品
比如有個產(chǎn)品很會營銷，一開始鋪天蓋地的打廣告，但結(jié)果發(fā)現(xiàn)一打廣告銷量就上得非?？欤芸熘灰Ｏ聛聿淮驈V告，銷量就馬上停止增長，遇到玻璃頂。
這意味著這個產(chǎn)品本身，其實很可能沒有任何內(nèi)在價值，它不會傳口碑，所以它的曲線就變成了一個對數(shù)函數(shù)曲線。
★7.凹形/凸形冪函數(shù)
下圖是一個時間-規(guī)模的函數(shù)，中間有一條對稱線（y=x）。
所謂的凹函數(shù)，你可以簡單地理解為，把這條對稱線往下按壓，形成了一種函數(shù)形態(tài)。
所謂的凸函數(shù)，跟它相反，把這條對稱線往上推，形成了一種函數(shù)形態(tài)。
凹形冪函數(shù)的公式 y=ax, a>1 (比如y=x2 , y=x125 )
價值
凹形冪函數(shù)有什么樣的特點(diǎn)，為什么我們需要講它呢？
因為它實際上代表了我們生活里面一種非常強(qiáng)大的，可以長期增長，而且不會遇到玻璃頂?shù)暮瘮?shù)形態(tài)。
著名的物理學(xué)家杰弗里·韋斯特《規(guī)模》里寫道，通過分析研究后發(fā)現(xiàn)，頭部國家和頭部城市的發(fā)展形態(tài)就非常符合凹形冪函數(shù)，它們都是時間的朋友。
隨著時間的推移，它們的增長不僅不會停下來，而且會變得越來越健康。
這種國家和城市一開始的發(fā)展都不會特別搶眼，但是有一天就會開始突破對稱中線，而且一旦突破后，就會越走越遠(yuǎn)，越升越高。
所以了解了凹形冪函數(shù)的意義，就知道這個世界上是存在一些事物，或者存在一些職業(yè)，真的是沒有天花板的。
四種函數(shù)的對比
邏輯斯蒂函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、凸形冪函數(shù)和凹形冪函數(shù)，現(xiàn)在我們把這四個函數(shù)放在同一個坐標(biāo)系里對比一下。
對國家/城市的啟發(fā)
頭部國家和城市的發(fā)展曲線都是符合紅色線的形態(tài)，他們通常都能夠不斷發(fā)展，幾乎沒有盡頭頭。
而一旦變成了腰部的國家和腰部城市，那么就會退到符合黃色線的形態(tài)。這種形態(tài)，雖然也能不斷發(fā)展，但是增速可能會越來越慢。
所以這么看來，頭部的國家和非頭部的國家之間的發(fā)展函數(shù)是有著本質(zhì)的差別，一種是凸形冪函數(shù)，一種是凹形冪函數(shù)。
而這兩種函數(shù)隨著時間的推移，他們的發(fā)展距離會不斷拉大。
一旦理解了這一點(diǎn)，大家就能夠理解為什么美國現(xiàn)在要拼命地壓制中國，不要讓中國成為世界 GDP 第一（世界頭號強(qiáng)國）
是因為一旦中國成為世界頭號強(qiáng)國，中國就有可能從原來的平緩?fù)剐蝺绾瘮?shù)曲線，直接躍升到向上昂揚(yáng)的凹形冪函數(shù)曲線，而徹底走上完全不同的道路。
一旦美國變成老二，就可能從原來自己一直享受的增長紅利切換到一個距離越來越大的另外一種增長模式里，所以這是他非常忌憚的事情。
那除了國家大事，我們再來看一下這四類函數(shù)，對于普通年輕人，其實也有很大的啟發(fā)。
對年輕人的啟發(fā)
我們的人生職業(yè)可以分成四種類型——
指數(shù)函數(shù)型職業(yè)，對數(shù)函數(shù)型職業(yè)，凸型冪函數(shù)職業(yè)和凹型冪函數(shù)職業(yè)，它們各是什么東西呢？
1.指數(shù)函數(shù)型職業(yè)（爆發(fā)型職業(yè)）
邏輯斯蒂函數(shù)，對應(yīng)指數(shù)函數(shù)型職業(yè)——爆發(fā)型
比如那些需要追風(fēng)口型的創(chuàng)業(yè)者、明星、網(wǎng)紅，他們通常都是一夜爆紅，這就非常符合指數(shù)型函數(shù)的增長形態(tài)。
這種函數(shù)通常在爆發(fā)到一定程度之后，都會遇到玻璃頂。
通常為了在短期內(nèi)獲得較好的爆發(fā)性增長，他們必須給自己設(shè)定一個非常清晰的邊界，比如
專門針對腐女市場的男星
專門針對二次元人群的游戲創(chuàng)業(yè)者
但是后面想要破圈到大眾市場，就可能要等待很多年，甚至最終都沒法成功，這是這類函數(shù)的一個特征。
而這類函數(shù)通常一開始時需要像指數(shù)函數(shù)一樣，蟄伏很長時間，然后才會遇到拐點(diǎn)。
2.對數(shù)函數(shù)型職業(yè)（速成型職業(yè)）
對數(shù)函數(shù)，對應(yīng)速成型職業(yè)——出道即巔峰
這類職業(yè)很多，因為它們就是通常所謂的寬門。只要你符合某些條件，就很容易入行，而一入行就可以迅速兌現(xiàn)回報。
比如嫩模、外賣員、保安、騙子、職業(yè)賭徒、游走在灰色地帶的撈女，
都屬于出道即巔峰，很快就能掙到錢，但是不久就遇到玻璃頂?shù)男袠I(yè)，如果要突破玻璃頂，通常需要經(jīng)歷一次徹底的轉(zhuǎn)型。
3.凸型冪函數(shù)職業(yè)（專家型職業(yè)）
專家型職業(yè)，對應(yīng)凸型冪函數(shù)——時間的朋友
只不過通常隨著時間推移，它們的增長會逐漸放緩。
比如有醫(yī)生、律師、工程師、教師等其他領(lǐng)域的專家。
當(dāng)然類似醫(yī)生和律師這樣的職業(yè)，真實的薪酬增長曲線并不完全符合凸型冪函數(shù)曲線，
因為它們都是不連續(xù)躍升的，并不像函數(shù)連續(xù)增長，所以函數(shù)曲線只是一個抽象的概括。
比如醫(yī)生職業(yè)，從主治醫(yī)師升遷到副主任醫(yī)師，再升遷到主任醫(yī)師這個過程中，每一級都會有大幅增長的新機(jī)會和收入。
4.凹型冪函數(shù)職業(yè)（探索型職業(yè)）
探索型職業(yè)，對應(yīng)凹型冪函數(shù)職業(yè)
這種職業(yè)沒有天花板，所謂的探索性，即它通常需要去探索一些人類未知和知識的邊界。
這類職業(yè)通常沒有玻璃頂，隨著時間的推移，如果能夠熬過最開始的階段，那么到了后面，理論上他們職業(yè)生涯發(fā)展，就跟他們?nèi)〉玫耐黄瞥烧取?/p>
比如科學(xué)家、學(xué)者、藝術(shù)家、發(fā)明家或者一些價值投資人（不是投機(jī)者，而是真正意義上的投資人）
因為他們的工作是探索邊界，所以理論上講，隨著人類文明的發(fā)展，他們玩的是一個無限增長的游戲。
熵增定律
我們?nèi)绻钊胍粚訒l(fā)現(xiàn)，這里面還有一股無處不在的向下的力量，這股力量會讓這些曲線全部都面臨一個向下的引力，就是熵增定律。
比如速成型行業(yè)，如果你已經(jīng)進(jìn)入了一個平臺期，那么隨著時間的推移，你不僅保持不了這條曲線的平臺階段，而且還有可能不斷地被向下拉。
因為這個世界會越變越糟，不進(jìn)則退，這是熵增定律決定。
而所有其他的幾個曲線也會遇到這樣的難題，就是不斷會被一股向下的拉力去拉扯。
如果我們拉的時間足夠長，那么所有的人類曲線都會歸零，都會回歸到倒 U 型的拋物線，因為所有人都會死。
所以你看曲線之間還是可以融合的，函數(shù)之間是可以疊加的。
增長函數(shù)一旦跟倒 U 型曲線結(jié)合，你可以看到更大的全貌。
職業(yè)的短期、中期和長期
這四條曲線的結(jié)合，給了我們一個什么樣的啟發(fā)？
我們可以分短期、中期和長期來看不同職業(yè)的境遇。
短期
如果你只是一個看短期的人，那么就應(yīng)該選擇對數(shù)型成長的行業(yè)。
一畢業(yè)出來就去做網(wǎng)紅，長得很漂亮，那起步的收入很快就會飛速發(fā)展。
這個階段，其他幾類函數(shù)的職業(yè)是完全被拋在腦后的。
在短期之內(nèi)，指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)它們都是比不過對數(shù)函數(shù)。
中期
如果看中期就會發(fā)現(xiàn)，通常指數(shù)型函數(shù)的職業(yè)是冠軍，賭對風(fēng)口的人，一旦能趕上一個大機(jī)遇，就有可能會一飛沖天，把身邊所有其他人遠(yuǎn)遠(yuǎn)拋下，一枝獨(dú)秀。
長期
如果我們看到很長期，漫漫人生路走下來就會發(fā)現(xiàn)，最成功的職業(yè)類型反而是那些學(xué)者型和科學(xué)家型的人，他們職業(yè)生涯非常長，都是符合凹形冪函數(shù)的，
比如鐘南山、袁隆平，其次是各類專家。
冪函數(shù)類的曲線，雖然通常在短中期時平平無奇，但是一旦時間拉得足夠長，越到后面后勁越足，因為他們通常都沒有明顯的玻璃頂。
總結(jié)
今天我們給大家講了高特納曲線、倒 U 型曲線、邏輯斯蒂函數(shù)、正弦余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、凸型冪函數(shù)和凹型冪函數(shù)。
原視頻地址
https://www.bilibili.com/cheese/play/ep7573
自我感想
這期的內(nèi)容感覺有些在生活中找函數(shù)證明的嫌疑，為了函數(shù)而函數(shù)，沒有前兩期出彩，數(shù)字是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模沁壿嬓苑浅?qiáng)的。這才是生活中數(shù)學(xué)模型重要的指導(dǎo)思想吧。當(dāng)然，最后的職業(yè)模型還是很有參考意義的，適用于剛剛畢業(yè)的學(xué)生參考。
【全文完】 看完的女俠/壯士，送今日毒雞湯一碗：所謂婚姻，就是兩個家庭的，資產(chǎn)重組。
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